MATH

数学建模

1. 误差
2. 插值函数

• 多项式插值：
• lagrange插值Lagrange多项式

$$l_k(x) = \frac{(x-x_0)\cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots(x-x_n)}{(x_k-x_0)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots(x_k-x_n)}$$ $$L_n(x)= \sum_{k=0}^n y_k l_k(x)$$

• 两点插值（线性插值）
• 三点插值（二次插值；抛物线插值）
  不具有计算继承性：如果增减点，旧的计算就得重算

• Newton插值Newton多项式

$$\begin{aligned} N_n(x) = & a_0 +a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x_1)\\ &+\cdots+a_n(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1}) \end{aligned}$$

将求解N+1元方程组的问题转化为求解n+1个一元一次方程的问题
具有继承性
以上三种插值即选取了三组不同的基函数。

• 等距节点的Newton插值公式
  • 向前差分:差分表
  • $a_k = \frac{\Delta^k(y_0)}{k!h^k}$
  • Newton 向前插值公式（前插公式）
  • 另有，向后差分，中心差分，
  • 不等距节点Newton插值公式—差商：差商表
  • 差商的一般性质

• 插值多项式的误差
  • 插值余项

平面方程

• 点法式方程
• 一般方程
• 截距式方程
• 两平面的夹角
• 点到直线的距离

设平面上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$,平面法向量为$\vec{\bm{n}}=(A,B,C)$;

点法式方程：

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

一般方程：

$Ax+By+Cz+D=0$

• D=0,平面通过坐标原点；
• A=0,平面平行于x轴；
• A=B=0,平面平行于xoy面(垂直于z轴)；
• A=D=0,平面通过x轴。

截距式方程：

设平面与x,y,z轴分别交于点$(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$，则

${x\over a}+{y\over b}+{z\over c}=1$

两平面的夹角：

$\cos \varphi = {|A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2|\over \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}\cdot \sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}}$

• 两平面垂直

$A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2= 0$

• 两平面平行

${A_1\over A_2}= {B_1\over B_2}={C_1\over C_2}$

点到平面的距离：

$d = {|Ax_0+By_0+Cz_0+D|\over\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$